Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: 1)y=(x+1)^2, y=1-x, x=0
2)y=корень из x, y=0, x=4
3)y=4-x^2, y=3x
4)y=6x-x^2, y=x+4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Найдем точки пересечения кривых:
(x+1)^2 = 1-x
x^2 + 2x + 1 = 1 - x
x^2 + 3x = 0
x(x + 3) = 0
x = 0 или x = -3

Точки пересечения: (0, 1), (-3, 10)

Интегрируем функции по x в пределах от -3 до 0:
∫[(x+1)^2 - (1-x)]dx = ∫[(x^2 + 2x + 1) - (1-x)]dx
= ∫(x^2 + 2x + 1 - 1 + x)dx
= ∫(x^2 + 3x)dx
= (x^3)/3 + (3x^2)/2 | от -3 до 0
= (0 - 0) - ((-27)/3 + 27/2)
= 9

2) Найдем точки пересечения кривых:
√x = 0
x = 0

Площадь фигуры ограничена кривыми y = √x, y = 0 и x = 4, поэтому интегрируем по x в пределах от 0 до 4:
∫[√x - 0]dx = ∫√xdx
= (2/3)x^(3/2) | от 0 до 4
= (2/3)4^(3/2)
= (2/3)*8
= 16/3

3) Площадь фигуры ограничена кривыми y = 4 - x^2 и y = 3x. Точки пересечения:
4 - x^2 = 3x
x^2 + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0
x = -4 или x = 1

Точки пересечения: (-4, 16), (1, 3)

Интегрируем функции по x в пределах от -4 до 1:
∫[(4 - x^2) - 3x]dx = ∫(4 - x^2 - 3x)dx
= (4x - (x^3)/3 - (3x^2)/2) | от -4 до 1
= (41 - (1^3)/3 - (31^2)/2) - (4(-4) - ((-4)^3)/3 - (3(-4)^2)/2)
= (4 - 1/3 - 3/2) - (-16 + 64/3 - 24)
= 3 + 5/6 + 48/3
= 65/6

4) Найдем точки пересечения:
6x - x^2 = x + 4
x^2 - 5x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
x = 4 или x = -1

Точки пересечения: (4, 8), (-1, 5)

Интегрируем функции по x в пределах от -1 до 4:
∫[(6x - x^2) - (x + 4)]dx = ∫(6x - x^2 - x - 4)dx
= (3x^2 - (x^3)/3 - (x^2)/2 - 4x) | от -1 до 4
= (316 - (4^3)/3 - (4^2)/2 - 44) - (3 - (-1/3) - (1/2) + 4)
= (48 - (64/3) - 8 - 16) - (3 + 1/3 - 1/2 + 4)
= 24 - 64/3 - 8 - 16 - 3 - 5/6 + 1/2 - 4
= -16 - 64/3 - 5/6 - 2.5

Итак, площади фигур ограничены вышеперечисленными функциями равны: 9, 16/3, 65/6 и -16 - 64/3 - 5/6 - 2.5.