Геометрия, нужна помощь! Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Е — середина В1А1. К — середина А1Д1. Постройте плоскость α, проходящую через точки Е и К параллельно прямой АА1. Докажите, что плоскости α и ВДД1 параллельны. Найдите расстояние между этими плоскостями, если ребро куба равно 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим плоскость α, проходящую через точки Е и К параллельно прямой АА1. Так как Е — середина В1А1, то отрезок ЕК является медианой треугольника В1А1Д1, а следовательно делит его пополам. Таким образом, плоскость α будет проходить через точку М, являющуюся серединой отрезка А1Д1.

Далее докажем, что плоскости α и ВДД1 параллельны. Плоскость В1Д1Д параллельна плоскости АД1Д (она же просто АДД1), так как они обе параллельны вершинам cube С и Г. Теперь рассмотрим две параллельные плоскости В1Д1Д и ВДД1. Плоскость α, проходящая через Е и К, параллельна прямой АА1, то есть перпендикулярна В1Д1 и ВД1. Таким образом, плоскости В1Д1Д и ВДД1 будут параллельны.

Наконец, найдем расстояние между плоскостями α и ВДД1. Расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию между любой точкой первой плоскости и второй плоскостью. Так как плоскость α проходит через точки Е и К, то расстояние между плоскостями α и ВДД1 равно расстоянию от точки М (середина отрезка А1Д1) до плоскости ВДД1.

Так как ребро куба равно 2, то сторона куба равна 2а, где а — сторона квадрата В1А1Д1 (так как это грань куба). Следовательно, сторона квадрата В1А1Д1 равна а=2/√2=√2. Тогда диагональ квадрата В1А1Д1 равна d=√2·√2=2. Так как точка М является серединой стороны квадрата, то высота квадрата проведенная из точки М к противоположной стороне также равна d=2.

Таким образом, расстояние между плоскостями α и ВДД1 равно 2.