Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Y=x^2+2x и y=2+x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями, необходимо найти точки их пересечения, затем найти точки, в которых одна функция находится выше другой, и интегрировать разность их значений в этих точках.

Для начала найдем точки пересечения функций y = x^2 + 2x и y = 2 + x:

x^2 + 2x = 2 + x
x^2 + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = -2 и x = 1.

Затем найдем точки, в которых одна функция находится выше другой. Для этого подставим значения x = -2 и x = 1 в обе функции и сравним их:

При x = -2:
(x^2 + 2x) - (2 + x) = (-2)^2 + 2*(-2) - (2 + (-2)) = 4 - 4 = 0

При x = 1:
(x^2 + 2x) - (2 + x) = (1)^2 + 2*(1) - (2 + 1) = 1 + 2 - 3 = 0

Таким образом, фигура ограничена в точках х = -2 и x = 1.

Теперь найдем разность между функциями в этих точках и возьмем интеграл этой разности для нахождения площади фигуры:

∫ (2 + x - (x^2 + 2x)) dx от -2 до 1
∫ (2 + x - x^2 - 2x) dx от -2 до 1
∫ (2 - x^2) dx от -2 до 1

Интегрируем:

= [2x - (x^3)/3] от -2 до 1
= [21 - (1^3)/3] - [2(-2) - ((-2)^3)/3]
= 2 - 1/3 - (-4 + 8/3)
= 2 - 1/3 + 4 - 8/3
= 6 - 1/3 - 8/3
= 18/3 - 1/3 - 8/3
= 9 - 1 - 8
= 0

Итак, площадь фигуры, ограниченной функциями y = x^2 + 2x и y = 2 + x равна 0.