Почему в четырехугольнике, вписанном в окружность и имеющем два противолежащих прямых угла, диагональ равна... Почему в четырехугольнике, вписанном в окружность и имеющем два противолежащих прямых угла, диагональ равна произведению синуса угла, опирающегося на нее, и другой диагонали? Ака дан четырехугольник ABCD, и AC = BD * sin BAD?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что у нас есть такой четырехугольник ABCD, который описан около окружности. Пусть угол BAC - противолежащий прямому углу BAD, а AC - диагональ. Также пусть BD - другая диагональ.

Так как ABCD описан вокруг окружности, углы BCD и BAD являются соответственными углами, поэтому sin BAD = sin BCD. Таким образом, мы можем представить AC = BD sin BAD как AC = BD sin BCD.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. По теореме синусов получаем, что BD/sin BCD = BC/sin BDC. Так как BC = AC (так как ABCD описан вокруг окружности), мы можем выразить BD через AC: BD = AC * sin BCD / sin BDC.

Теперь подставим это выражение для BD в уравнение AC = BD sin BCD и получим AC = (AC sin BCD / sin BDC) sin BCD. Упрощая это уравнение, получаем AC = AC sin^2 BCD / sin BDC.

Упростим это уравнение еще дальше, учитывая, что sin^2 BCD = 1 - cos^2 BCD. Таким образом, AC = AC (1 - cos^2 BCD) / sin BDC = AC sin BCD.

Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике, вписанном в окружность и имеющем два противолежащих прямых угла, диагональ равна произведению синуса угла, опирающегося на нее, и другой диагонали.