Х^2 и касательной, проведённой к графику данной функции в точке абециссой х=2 и осью ординат Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=2х-х^2 и касательной, проведённой к графику данной функции в точке абециссой х=2 и осью ординат

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение касательной к функции у=2x-x^2 в точке x=2.
Для этого найдем производную данной функции:
y' = 2 - 2x

Подставляем x=2:
y'(2) = 2 - 2*2 = -2

Таким образом, уравнение касательной к функции у=2x-x^2 в точке x=2 будет:
y = -2x + b

Подставляем точку (2, 22-2^2) в уравнение касательной:
2 = -22 + b
2 = -4 + b
b = 6

Итак, уравнение касательной к функции у=2x-x^2 в точке x=2 будет:
y = -2x + 6

Теперь найдем точки пересечения функции у=2x-x^2 с касательной y=-2x+6:
2x-x^2 = -2x + 6
2x - x^2 + 2x - 6 = 0
-x^2 + 4x - 6 = 0

Решая квадратное уравнение, получаем x=2 и x=2. Таким образом, точка пересечения - (2,2).

Площадь фигуры, ограниченной линиями у=2х-х^2 и касательной к этой функции в точке x=2 и осью ординат, равна площади фигуры, заключенной между криволинейным участком функции у=2х-х^2, касательной и осями координат. Для нахождения этой площади можно воспользоваться методом площадей разностей.

Площадь фигуры ограничена функцией y=2x-x^2 и осями ординат и абсцисс, а также касательной y=-2x+6 в точке (2,2).
Вычислим интеграл функции y=2x-x^2 на отрезке [0, 2]:
∫(2x - x^2)dx = x^2 - x^3/3|0,2 = (2^2 - 2^3/3) - (0 - 0/3) = 4 - 8/3 = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у=2x-x^2 и касательной, проведенной к графику данной функции в точке абсциссой х=2 и осями ординат, равна 4/3.