Задача по геометрии Теорема о том, что в равных треугольниках соответственные элементы равны (медианы, биссектрисы, высоты). Доказать

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этой теоремы, предположим, что у нас есть два равных треугольника ABC и DEF. Требуется доказать, что медианы, биссектрисы и высоты этих треугольников равны.

Медианы
Пусть AM и DN - медианы треугольников ABC и DEF соответственно. Мы знаем, что AM делит сторону BC пополам, то есть BM = MC, и DN делит сторону EF пополам, то есть EN = NF. Так как треугольники равны, то стороны равны: AB = DE, AC = DF и BC = EF. Из этого следует, что треугольники ABC и DEF подобны, а значит у них также совпадают соответствующие углы. Из этого следует, что треугольники DNE и AMB также подобны. Таким образом, DN/NE = AM/MB. Поскольку NE = NF, а MB = MC, то DN/NF = AM/MC, что означает, что медианы AM и DN равны.

Биссектрисы
Пусть BL и EP - биссектрисы треугольников ABC и DEF соответственно. Тогда BLB = ABC/2 и EPF = DEF/2. Поскольку треугольники ABC и DEF равны, то BLB = EPF. Значит, углы BLB и EPF равны. Таким образом, биссектрисы BL и EP также равны.

Высоты
Пусть AH и DQ - высоты треугольников ABC и DEF соответственно. Так как треугольники ABC и DEF равны, то стороны соответствующие высоты также равны. Значит, AH = DQ.

Таким образом, доказано, что в равных треугольниках соответствующие элементы (медианы, биссектрисы и высоты) равны.