Даны точки A (2,1,4),B(0,0,2),C(1,-1,6),D(2,-1,2).Найти общее уравнение плоскости,проходящей через точкуD паралелльно плоскости ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем направляющий вектор для плоскости ABC. Для этого возьмем векторы AB и AC.

AB = B - A = (0-2, 0-1, 2-4) = (-2, -1, -2)
AC = C - A = (1-2, -1-1, 6-4) = (-1, -2, 2)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC, это будет направляющий вектор для плоскости ABC.

n = AB x AC = i (det([[-1, -2], [-2, -2]]) - j (det([[-2, -2], [-2, 1]]) + k (det([[-2, -1], [-1, -2]]))
= i(2-2) - j(-4-2) + k(-2+1)
= i0 + j(-6) + k*(-1)
= (0, 6, -1)

Теперь у нас есть направляющий вектор для плоскости ABC - (0, 6, -1).

Так как плоскость, проходящая через точку D и параллельная плоскости ABC, имеет тот же направляющий вектор, то общее уравнение плоскости имеет вид:

n*(r - D) = 0

где n - найденный направляющий вектор, r - координаты произвольной точки в плоскости (x, y, z), D - координаты точки D (2, -1, 2).

Подставляем значения:

(0, 6, -1)((x - 2), (y + 1), (z - 2)) = 0
0(x - 2) + 6(y + 1) - 1(z - 2) = 0
6y + 6 - z + 2 = 0
6y - z + 8 = 0

Таким образом, общее уравнение плоскости, проходящей через точку D и параллельной плоскости ABC, имеет вид 6y - z + 8 = 0.