При каких n число n2+n+1 делится на 2002

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Число ( n^2 + n + 1 ) делится на 2002, если ( n^2 + n + 1 \equiv 0 \mod 2002 ).

Для того чтобы найти значения n, удовлетворяющие этому условию, можно воспользоваться теоремой об остатках.

2002 = 2 7 11 * 13.

Посчитаем значения ( n^2 + n + 1 \mod p ), где p = 2, 7, 11, 13:

( n^2 + n + 1 \mod 2 ):

При n = 0: ( 0^2 + 0 + 1 = 1 \equiv 1 \mod 2 )При n = 1: ( 1^2 + 1 + 1 = 3 \equiv 1 \mod 2 )Видно, что для любого n ( n^2 + n + 1 ) не делится на 2.

( n^2 + n + 1 \mod 7 ):

При n = 0: ( 0^2 + 0 + 1 = 1 \equiv 1 \mod 7 )При n = 1: ( 1^2 + 1 + 1 = 3 \equiv 3 \mod 7 )При n = 2: ( 2^2 + 2 + 1 = 7 \equiv 0 \mod 7 )Видно, что для n = 2 (mod 7) ( n^2 + n + 1 ) делится на 7.

( n^2 + n + 1 \mod 11 ):

При n = 0: ( 0^2 + 0 + 1 = 1 \equiv 1 \mod 11 )При n = 1: ( 1^2 + 1 + 1 = 3 \equiv 3 \mod 11 )При n = 2: ( 2^2 + 2 + 1 = 7 \equiv 7 \mod 11 )При n = 3: ( 3^2 + 3 + 1 = 13 \equiv 2 \mod 11 )При n = 4: ( 4^2 + 4 + 1 = 21 \equiv 10 \mod 11 )При n = 5: ( 5^2 + 5 + 1 = 31 \equiv 9 \mod 11 )При n = 6: ( 6^2 + 6 + 1 = 43 \equiv 10 \mod 11 )При n = 7: ( 7^2 + 7 + 1 = 57 \equiv 2 \mod 11 )При n = 8: ( 8^2 + 8 + 1 = 73 \equiv 7 \mod 11 )При n = 9: ( 9^2 + 9 + 1 = 91 \equiv 3 \mod 11 )При n = 10: ( 10^2 + 10 + 1 = 111 \equiv 1 \mod 11 )Видно, что для n = 2, 6, 10 (mod 11) ( n^2 + n + 1 ) делится на 11.

( n^2 + n + 1 \mod 13 ):

При n = 0: ( 0^2 + 0 + 1 = 1 \equiv 1 \mod 13 )При n = 1: ( 1^2 + 1 + 1 = 3 \equiv 3 \mod 13 )При n = 2: ( 2^2 + 2 + 1 = 7 \equiv 7 \mod 13 )При n = 3: ( 3^2 + 3 + 1 = 13 \equiv 0 \mod 13 )Видно, что для n = 3 (mod 13) ( n^2 + n + 1 ) делится на 13.

Таким образом, мы нашли, что для n = 2, 6, 10 (mod 11) и n = 3 (mod 13), выражение ( n^2 + n + 1 ) делится на 2002.