Для нахождения интеграла от dx / cos 6x сначала применим тригонометрическую замену.

Заметим, что cos 6x = (cos^2 3x - sin^2 3x) = 1 - 2sin^2 3x.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

∫ dx / cos 6x = ∫ dx / (1 - 2sin^2 3x)

Теперь используем замену sin 3x = u, тогда cos 3x dx = du/3:

∫ dx / cos 6x = ∫ dx / (1 - 2u^2) 1/3 = (1/3) ∫ du / (1 - 2u^2)

Теперь разложим дробь на простые дроби:

1 / (1 - 2u^2) = A / (1 - √2u) + B / (1 + √2u)

Умножаем обе части на (1 - 2u^2) и находим A и B. После этого получаем:

(1/3) ∫ du / (1 - 2u^2) = (1/3) (1/√2) * ln| (u + √2) / (u - √2) |

Итак, окончательный ответ:

(1/3√2) * ln| (sin 3x + √2) / (sin 3x - √2) | + C, где C - константа интегрирования.