Для нахождения интеграла от dx / cos 6x сначала применим тригонометрическую замену.
Заметим, что cos 6x = (cos^2 3x - sin^2 3x) = 1 - 2sin^2 3x.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
∫ dx / cos 6x = ∫ dx / (1 - 2sin^2 3x)
Теперь используем замену sin 3x = u, тогда cos 3x dx = du/3:
∫ dx / cos 6x = ∫ dx / (1 - 2u^2) 1/3 = (1/3) ∫ du / (1 - 2u^2)
Теперь разложим дробь на простые дроби:
1 / (1 - 2u^2) = A / (1 - √2u) + B / (1 + √2u)
Умножаем обе части на (1 - 2u^2) и находим A и B. После этого получаем:
(1/3) ∫ du / (1 - 2u^2) = (1/3) (1/√2) * ln| (u + √2) / (u - √2) |
Итак, окончательный ответ:
(1/3√2) * ln| (sin 3x + √2) / (sin 3x - √2) | + C, где C - константа интегрирования.
Для нахождения интеграла от dx / cos 6x сначала применим тригонометрическую замену.
Заметим, что cos 6x = (cos^2 3x - sin^2 3x) = 1 - 2sin^2 3x.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
∫ dx / cos 6x = ∫ dx / (1 - 2sin^2 3x)
Теперь используем замену sin 3x = u, тогда cos 3x dx = du/3:
∫ dx / cos 6x = ∫ dx / (1 - 2u^2) 1/3 = (1/3) ∫ du / (1 - 2u^2)
Теперь разложим дробь на простые дроби:
1 / (1 - 2u^2) = A / (1 - √2u) + B / (1 + √2u)
Умножаем обе части на (1 - 2u^2) и находим A и B. После этого получаем:
(1/3) ∫ du / (1 - 2u^2) = (1/3) (1/√2) * ln| (u + √2) / (u - √2) |
Итак, окончательный ответ:
(1/3√2) * ln| (sin 3x + √2) / (sin 3x - √2) | + C, где C - константа интегрирования.