1. Показать,что функция F(x)=e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^2x+3x^2+sin x на всей числовой прямой. 2. Для функции f(x)=3x^2+2x-3 найти первообразную,график которой проходит через точку М(1;-2). 3. Найти площадь фигуры ограниченной: 1) параболой y=x^2+x-6 и осью Ох; 2) графиками функций y=x^2+1 и y=10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы показать, что функция F(x) = e^2x + x^3 - cos x является первообразной для функции f(x) = 2e^2x + 3x^2 + sin x на всей числовой прямой, нужно проверить, что производная функции F(x) равна функции f(x).

F'(x) = (e^2x)' + (x^3)' - (cos x)'
F'(x) = 2e^2x + 3x^2 + sin x

Таким образом, F(x) является первообразной для f(x) на всей числовой прямой.

Для функции f(x) = 3x^2 + 2x - 3 найдем первообразную F(x) такую, что F(1) = -2.

F'(x) = 3x^2 + 2x - 3
Интегрируя по частям:
F(x) = x^3 + x^2 - 3x + C

Теперь найдем константу C, подставив x = 1 и F(1) = -2:
1 + 1 - 3 + C = -2
C = -4

Таким образом, первообразная функции f(x), проходящая через точку M(1, -2), равна F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 4.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y = x^2 + x - 6 и осью Ox, нужно найти точки пересечения параболы с осью Ox, которые будут являться границами интегрирования.

x^2 + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x = -3, x = 2

Интегрируя функцию y = x^2 + x - 6 от -3 до 2, получим площадь фигуры.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 1 и y = 10, нужно найти точки пересечения этих функций.

x^2 + 1 = 10
x^2 = 9
x = ±3

Интегрируя функцию y = 10 - (x^2 + 1) от -3 до 3, получим площадь фигуры.