Дана функция y=2x3 – 3x2 +5. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; Дана функция y=2x3 – 3x2 +5. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания
функции; б) точки экстремума; в) наибольшее значение функции на отрезке [-1;2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти производную функции и найти ее нули.

Производная функции y=2x^3 - 3x^2 + 5 равна y'=6x^2 - 6x.

Найдем нули производной, приравняв ее к нулю:
6x^2 - 6x = 0
6x(x-1) = 0
Отсюда x1=0, x2=1.

Изобразим найденные нули и интервалы числовой прямой:
(-беск.; 0), (0; 1), (1; +беск.)

Проверим знак производной на каждом интервале:
Для x < 0: y'(-) (-) = (+) - функция возрастает
Для 0 < x < 1: y'(-) (+) = (-) - функция убывает
Для x > 1: y'(+) * (+) = (+) - функция возрастает

а) Итак, промежуток возрастания функции: (-беск.; 0) объединен с (1; +беск.),
промежуток убывания функции: (0; 1).

б) Точки экстремума функции находятся в точках, где производная равна нулю или не существует. Мы уже нашли точки, где производная равна нулю: x1=0, x2=1.

в) Найдем наибольшее значение функции на отрезке [-1; 2].
Вычислим значения функции на концах отрезка:
y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 5 = -2 - 3 + 5 = 0
y(2) = 22^3 - 32^2 + 5 = 16 - 12 + 5 = 9

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке [-1; 2] равно 9.