Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте ее график y=2x^4-9x^2+7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования функции y=2x^4-9x^2+7 на монотонность и экстремумы найдем производные функции.

Первая производная функции y=2x^4-9x^2+7:
y'=8x^3-18x

Находим точки экстремума, приравняв производную к нулю:
8x^3-18x=0
2x(4x^2-9)=0
2x=0 или 4x^2-9=0

Отсюда получаем две возможные точки экстремума: x=0 и x=-3/2.

Далее вычисляем вторую производную функции:
y''=24x^2-18

Подставляя найденные значения x=0 и x=-3/2 во вторую производную, получаем:
y''(0)=-18 < 0 - это значит, что x=0 является точкой максимума
y''(-3/2)=24*(9/4)-18 = 27 > 0 - это значит, что x=-3/2 является точкой минимума.

Итак, функция имеет точки максимума в точке (0, 7) и точку минимума в точке (-3/2, 5/4).

Теперь исследуем монотонность функции. Выделим интервалы между точками экстремума: (-бесконечность, -3/2), (-3/2, 0), (0, бесконечность).

Для интервала (-бесконечность, -3/2), из значения второй производной y'' можно сделать вывод, что функция убывает.
Для интервала (-3/2, 0), функция возрастает.
Для интервала (0, бесконечность), функция также возрастает.

Таким образом, функция y=2x^4-9x^2+7 имеет точки максимума в точке (0, 7), точку минимума в точке (-3/2, 5/4), убывает на интервале (-бесконечность, -3/2) и возрастает на интервалах (-3/2, 0) и (0, бесконечность).

Построим график функции y=2x^4-9x^2+7: