В равнобедренном треугольнике основание равно 10, а высота, проведенная к основанию, равно отрезку прямой, соединяющей середины основания и боковой стороны. Найдите площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: S = 0.5 a h, где a - основание треугольника, h - его высота.

Из условия задачи мы знаем, что основание треугольника a = 10.

Поскольку высота, проведенная к основанию, равна отрезку прямой, соединяющей середины основания и боковую сторону, то эта высота также является медианой этого треугольника. Так как медиана треугольника делит основание на две равные части, то расстояние от вершины до середины основания равно расстоянию от середины основания до боковой стороны.

Таким образом, треугольник разделился на два равнобедренных треугольника со стороной основания 10. Пусть x - это сторона одного из таких треугольников.

По теореме Пифагора в равнобедренном треугольнике сторона, ведущая к вершине, равна (\sqrt{x^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}x^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x).

Таким образом, высота треугольника равна (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x).

Теперь можем записать формулу для площади S: (S = 0.5 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot x).

Найдем значение x, используя теорему Пифагора для меньшего равнобедренного треугольника: (x^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x\right)^2 = 10^2 \Rightarrow x^2 + \frac{3}{4}x^2 = 100 \Rightarrow \frac{7}{4}x^2 = 100 \Rightarrow x^2 = \frac{400}{7} \Rightarrow x = \frac{20}{\sqrt{7}}).

Подставляем найденное значение x в формулу площади S: (S = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{7}} = \frac{100\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{50\sqrt{21}}{7}).

Итак, площадь равнобедренного треугольника равна (\frac{50\sqrt{21}}{7}) или примерно 51,45.