EK - диагональ параллелограмма EFKD , Е( -4; 3), К( 2; 5). Найдите координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точки F, которая является вершиной параллелограмма EFKD и находится на основании параллелограмма.

Для этого воспользуемся тем фактом, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Таким образом, координаты точки F будут равны среднему значению координат точек E и K:

F( (E_x + K_x)/2 ; (E_y + K_y)/2 )
F( (-4 + 2)/2 ; (3 + 5)/2 )
F( -1 ; 4 )

Теперь найдем уравнения прямых, содержащих диагонали параллелограмма EFKD:

Прямая ED:
Уравнение прямой проходящей через точки E(-4,3) и D(x,y) имеет вид:
(y - 3)/(x - (-4)) = (5 - 3)/(2 - (-4))
(y - 3)/(x + 4) = 2/6
6(y - 3) = 2(x + 4)
6y - 18 = 2x + 8
2x - 6y = -26

Прямая FK:
Уравнение прямой проходящей через точки F(-1,4) и K(2,5) имеет вид:
(y - 4)/(x - (-1)) = (5 - 4)/(2 - (-1))
(y - 4)/(x + 1) = 1/3
3(y - 4) = x + 1
3y - 12 = x + 1
x - 3y = -13

Теперь найдем координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма, решив систему уравнений:

2x - 6y = -26
x - 3y = -13

Методом подстановки получаем:
ранее систему уравнений не задавали смысла - ищем другой способ решения.

Прежде всего, найдём векторы диагоналей параллелограмма:

\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{E} = (-1,4) - (-4,3) = (-1 + 4, 4 - 3) = (3, 1)
\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{E} = (2,5) - (-4,3) = (2 + 4, 5 - 3) = (6, 2)

А теперь сложим эти вектора для нахождения вектора диагонали параллелограмма:

\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EK} = (3, 1) + (6, 2) = (3 + 6, 1 + 2) = (9, 3)

Следовательно, вектор диагонали параллелограмма равен (9, 3).

Теперь найдём координаты точки пересечения диагоналей, используя данное свойство: Если A и B - середины диагоналей параллелограмма, то координаты точки пересечения диагоналей будут равны 2A - B.

Найдем координаты точки пересечения диагоналей:

2F - K = 2(-1,4) - (2,5) = (-2, 8) - (2, 5) = (-4, 3)

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма EFKD равны (-4, 3).