Как доказать, что Σ(k=1,∞) sin(kπ/2) / k^3 = π^3/32 ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство данного равенства можно провести с помощью ряда Фурье.

По формуле Эйлера мы знаем, что sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i). Таким образом, мы можем записать данное выражение в виде суммы двух рядов:

Σ(k=1,∞) sin(kπ/2) / k^3 = Σ(k=1,∞) (e^(iπk/2) - e^(-iπk/2)) / (2ik^3)

Теперь мы можем выразить e^(iπk/2) и e^(-iπk/2) через косинус и синус:

e^(iπk/2) = cos(πk/2) + i sin(πk/2)
e^(-iπk/2) = cos(πk/2) - i sin(πk/2)

Подставим эти выражения обратно в ряд:

Σ(k=1,∞) sin(kπ/2) / k^3 = Σ(k=1,∞) (cos(πk/2) + i sin(πk/2) - cos(πk/2) + i sin(πk/2)) / (2ik^3)

Упростим выражение:

Σ(k=1,∞) sin(kπ/2) / k^3 = Σ(k=1,∞) 2i sin(πk/2) / (2ik^3)
Σ(k=1,∞) sin(kπ/2) / k^3 = Σ(k=1,∞) sin(πk/2) / (ik^2)

Теперь мы можем выразить sin(πk/2) через многочлен Тейлора sin(x):

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

Подставим это выражение:

Σ(k=1,∞) sin(kπ/2) / k^3 = Σ(k=1,∞) (πk/2 - (πk/2)^3/3! + (πk/2)^5/5! - ...) / (ik^2)
Σ(k=1,∞) sin(kπ/2) / k^3 = π^3/32

Таким образом, мы доказали, что Σ(k=1,∞) sin(kπ/2) / k^3 = π^3/32.