Пусть E(X)= 18.0, E(Y)= 71.0, var(X)= 34.0, var(Y)= 29.0, cov(X,Y)= 96.0. Найдите: cov(X+2Y+1,3X−Y−1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала выразим новые случайные величины:

Z = X + 2Y + 1
W = 3X - Y - 1

Теперь найдем ковариацию cov(Z, W):

cov(Z, W) = E(ZW) - E(Z) E(W)

E(Z) = E(X + 2Y + 1) = E(X) + 2E(Y) + E(1) = 18 + 271 + 1 = 18 + 142 + 1 = 161
E(W) = E(3X - Y - 1) = 3E(X) - E(Y) - E(1) = 318 - 71 - 1 = 54 - 71 - 1 = -18
E(Z*W) = E((X + 2Y + 1)(3X - Y - 1)) = E(3X^2 - XY - X + 6XY - 2Y - 2 + 3X - Y - 1) =
= E(3X^2 - XY + 6XY + 3X - X - 2Y - Y - 2 - 1) = E(3X^2 + 5XY + 2X - 3Y - 3) =
= 3E(X^2) + 5E(XY) + 2E(X) - 3E(Y) - 3

Так как E(XY) = cov(X,Y) + E(X)*E(Y), то имеем:

E(ZW) = 3(E(X^2) + E(X)E(Y)) + 5(cov(X,Y) + E(X)E(Y)) + 2E(X) - 3E(Y) - 3 =
= 3(E(X^2) + E(X)E(Y)) + 5(cov(X,Y) + E(X)E(Y)) + 2E(X) - 3E(Y) - 3 =
= 3(var(X) + (E(X))^2) + 5(96 + 1871) + 218 - 371 - 3 =
= 3(34 + 18^2) + 5(96 + 1871) + 218 - 371 - 3 =
= 3(34 + 324) + 5(96 + 1871) + 36 - 213 - 3 =
= 3358 + 5(96 + 1278) + 36 - 213 - 3 =
= 1074 + 5*1374 + 36 - 213 - 3 =
= 1074 + 6870 + 36 - 213 - 3 =
= 7940

Теперь вычислим cov(Z,W):

cov(Z, W) = E(ZW) - E(Z)E(W) = 7940 - 161*(-18) = 7940 + 2898 = 10838

Итак, cov(X+2Y+1, 3X-Y-1) = 10838.