Докажите, что при любом натуральном значении n: D(2n+1;(n(n+1)/2))=1 D- наибольший общий делитель

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения нам нужно воспользоваться свойствами наибольшего общего делителя (НОД) и раскрыть выражение внутри D.

Имеем D(2n+1, n(n+1)/2). Заметим, что второе число n(n+1)/2 можно представить как произведение двух чисел n и (n+1), а также что 2n+1 = 2(n+1) - 1.

Теперь подставим эти значения в наше утверждение:
D(2n+1, n(n+1)/2) = D(2(n+1) - 1, n(n+1)(1/2)).

Далее можно заметить, что 2(n+1) и n(n+1)(1/2) имеют общий множитель (n+1), поэтому мы можем выделить его:
D(2n+1, n(n+1)/2) = D(n+1, n(n+1)*(1/2)).

Теперь видим, что n+1 и n(n+1)*(1/2) имеют общий множитель n+1, и мы можем выделить его:
D(2n+1, n(n+1)/2) = D(n+1, n+1) = n+1.

Таким образом, при любом натуральном значении n НОД чисел 2n+1 и n*(n+1)/2 равен n+1, что и требовалось доказать.