Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность? Стал размышлять, почему сумма всех углов равна 180, сделал это с помощью вписанных углов. Затем возник собственно вопрос, поставленный в теме: Почему вокруг любого треугольника можно описать окружность? или возможность описать окружность выходит как следствие из этой суммы? В таком случае как доказать эту сумму первоначально?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, возможность описать окружность вокруг любого треугольника действительно вытекает из того факта, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов.

Для начала можно доказать этот факт следующим образом:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC.Проведем высоту AD из вершины A к основанию BC.Обозначим углы треугольника как α, β и γ.Рассмотрим треугольники ADB и ADC. Они являются прямоугольными треугольниками, так как AD - это высота.Угол BAD = угол CAD, так как это углы, дополнительные к прямому углу.Тогда угол B + угол C + угол BAD + угол CAD = 180 (сумма углов внешних по отношению к углу D треугольника ADB и ADC).Тогда угол B + угол C + α + γ = 180.Учитывая, что α + γ = 90 (так как ADB и ADC прямоугольные), получаем угол B + угол C + 90 = 180.Таким образом, угол B + угол C = 90, что означает, что сумма внутренних углов треугольника равна 180.

Исходя из этого доказательства, можно заключить, что возможность описать окружность вокруг любого треугольника действительно вытекает из суммы углов в треугольнике, так как сумма углов в окружности равна 360 градусов, а значит, угол, образуемый дугой окружности треугольника, также равен 180 градусов.