Исследовать функции на возрастания и убывания , экстремумы: a. f(x)=2x⁴-4x²+1 б. f(x)=x⁴-8x²

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a. f(x)=2x⁴-4x²+1

Для нахождения точек возрастания и убывания, а также экстремумов, найдем производную функции f(x):

f'(x) = 8x³ - 8x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

8x³ - 8x = 0
8x(x² - 1) = 0
8x(x + 1)(x - 1) = 0

Отсюда получаем, что точки, где производная равна нулю, равны x = 0, x = 1, x = -1.

Теперь проверим знак производной на интервалах между найденными точками:

1) x < -1: f'(-2) = 8(-2)³ - 8(-2) = -64 + 16 = -48 < 0, функция убывает
2) -1 < x < 0: f'(-0.5) = 8(-0.5)³ - 8(-0.5) = 1 > 0, функция возрастает
3) 0 < x < 1: f'(0.5) = 80.5³ - 80.5 = -1 < 0, функция убывает
4) x > 1: f'(2) = 82³ - 82 = 64 - 16 = 48 > 0, функция возрастает

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), убывает на интервалах (-1, 0) и (0, 1).

Теперь найдем экстремумы. Для этого подставим найденные точки x = 0, x = 1, x = -1 в исходную функцию f(x):

f(0) = 1
f(1) = 21⁴ - 41² + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
f(-1) = 2(-1)⁴ - 4(-1)² + 1 = 2 - 4 + 1 = -1

Таким образом, функция имеет локальные минимумы в точках (0, 1) и (-1, -1).

b. f(x)=x⁴-8x²

Для нахождения точек возрастания и убывания, а также экстремумов, найдем производную функции f(x):

f'(x) = 4x³ - 16x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

4x³ - 16x = 0
4x(x² - 4) = 0
4x(x + 2)(x - 2) = 0

Отсюда получаем, что точки, где производная равна нулю, равны x = 0, x = 2, x = -2.

Теперь проверим знак производной на интервалах между найденными точками:

1) x < -2: f'(-3) = 4(-3)³ - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0, функция убывает
2) -2 < x < 0: f'(-1) = 4(-1)³ - 16(-1) = -4 - 16 = -20 < 0, функция убывает
3) 0 < x < 2: f'(1) = 41³ - 161 = 4 - 16 = -12 < 0, функция убывает
4) x > 2: f'(3) = 43³ - 163 = 108 - 48 = 60 > 0, функция возрастает

Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, -2), (-2, 0) и (0, 2), возрастает на интервале (2, +∞).

Теперь найдем экстремумы. Для этого подставим найденные точки x = 0, x = 2, x = -2 в исходную функцию f(x):

f(0) = 0
f(2) = 2⁴ - 82² = 16 - 32 = -16
f(-2) = (-2)⁴ - 8(-2)² = 16 - 32 = -16

Таким образом, функция имеет локальные максимумы в точках (0, 0), (2, -16) и (-2, -16).