Доказать что при любом натуральном n выражение (n^5-n)...10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Для любого натурального n:
(n^5 - n) = n(n^4 - 1)
= n(n^2 + 1)(n^2 - 1)
= n(n^2 + 1)(n+1)(n-1)
= n(n+1)(n-1)(n^2 + 1)

Так как n, n+1, n-1 - три последовательных натуральных числа, то одно из них кратно трем. Важно отметить, что один из множителей (n, n+1, n-1) всегда кратен двум, так как разность двух последовательных натуральных чисел всегда четна.

Таким образом, выражение (n^5 - n) является произведением четного числа (2), числа, кратного трем, и какого-то натурального числа.

Следовательно, (n^5 - n) является кратным шести.

Теперь проверим, что при делении (n^5 - n) на 10 остаток всегда будет равен 0.

Так как число делится на 6, то оно также делится на 2 и на 3. То есть, оно делится на 2*3=6 и в дополнение имеет последнюю цифру 0, что означает деление на 10 без остатка.

Таким образом, при любом натуральном n, выражение (n^5 - n) делится на 10 без остатка.