Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается его боковых сторон в точках E и F. Найдите периметр треугольника ABC, если его основание равно AC=12, а отрезок EF=3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть BC=a, то AB=a. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AE=AF=x, BE=CF=y, AB=BC=a.
Из теоремы о существовании вписанной окружности в равнобедренном треугольнике следует, что EF является диаметром окружности. Таким образом, BE=CF=y=EF/2=3/2.
Теперь можно составить уравнения:
1) a=2x+3
2) a=2y+3
3) a=12
4) a=2(x+y)
Подставляем значения из уравнений (2) и (3) в уравнение (4):
12=2(x+3/2)
12=2x+3
x=4.5

Теперь находим стороны треугольника: a=2x+3=2*4.5+3=9+3=12.

Таким образом, периметр треугольника ABC равен:
12+12+12=36.

Ответ: периметр треугольника ABC равен 36.