Математическая индукция — это метод доказательства верности утверждений о натуральных числах. Этот метод состоит в том, что если утверждение верно для некоторого начального значения (обычно для первого натурального числа), и из этого следует, что оно верно и для следующего числа, то это утверждение верно для всех натуральных чисел, начиная с этого начального значения.
Пример: докажем, что для любого положительного натурального числа n сумма всех чисел от 1 до n равна n(n+1)/2. Шаг 1: Проверим утверждение для n=1. 1=1(1+1)/2, верно. Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого числа k. Докажем, что оно верно и для k+1. Сумма чисел от 1 до k+1 равна сумме чисел от 1 до k плюс k+1. По предположению индукции, сумма от 1 до k равна k(k+1)/2. Тогда сумма от 1 до k+1 равна k(k+1)/2 + k+1 = (k+1)(k/2 + 1). Это выражение равно (k+1)(k+2)/2, что и требовалось доказать. Таким образом, по принципу математической индукции это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Метод математической индукции широко используется в математике для доказательства различных свойств и теорем.
Математическая индукция — это метод доказательства верности утверждений о натуральных числах. Этот метод состоит в том, что если утверждение верно для некоторого начального значения (обычно для первого натурального числа), и из этого следует, что оно верно и для следующего числа, то это утверждение верно для всех натуральных чисел, начиная с этого начального значения.
Пример: докажем, что для любого положительного натурального числа n сумма всех чисел от 1 до n равна n(n+1)/2.
Шаг 1: Проверим утверждение для n=1. 1=1(1+1)/2, верно.
Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого числа k. Докажем, что оно верно и для k+1.
Сумма чисел от 1 до k+1 равна сумме чисел от 1 до k плюс k+1. По предположению индукции, сумма от 1 до k равна k(k+1)/2. Тогда сумма от 1 до k+1 равна k(k+1)/2 + k+1 = (k+1)(k/2 + 1).
Это выражение равно (k+1)(k+2)/2, что и требовалось доказать.
Таким образом, по принципу математической индукции это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Метод математической индукции широко используется в математике для доказательства различных свойств и теорем.