Вектор x, перпендикулярный к OХ и к вектору a (3;8;15) , образует тупой угол с осью OY. Найти его координаты, если модуль вектора x = 50

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи следует, что вектор x перпендикулярен и к оси OX, и к вектору a. Также, угол между вектором x и осью OY является тупым углом.

Известно, что модуль вектора x равен 50. Поскольку вектор x перпендикулярен вектору a и оси OX, мы можем построить прямоугольный треугольник, где вектор a является катетом, вектор x – гипотенузой, а вектор x_1 – другим катетом.

Для вычисления координат вектора x_1 воспользуемся проекциями векторов на оси координат.

Пусть x = (x_1, x_2, x_3) – координаты вектора x.

С учетом того, что угол между векторами a и x составляет 90°, можно записать следующее равенство проекций:
x_1 3 + x_2 8 + x_3 * 15 = 0.

Также, учитывая тупой угол между вектором x и осью OY, имеем:
x_2 = -50.

Используя данные равенства, найдем координаты вектора x:
x_1 3 - 50 8 + x_3 * 15 = 0,
3x_1 + 15x_3 = 400,
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50^2,
x_1^2 + (-50)^2 + x_3^2 = 50^2,
x_1^2 + x_3^2 = 2000.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:
3x_1 + 15x_3 = 400,
x_1^2 + x_3^2 = 2000.

Решая данную систему уравнений, найдем координаты x:
x = (20, -50, 10).