Задачка по геометрии) Дана пирамида SABC, в которой SA=18, SB=SC=21, BC=14. Конус расположен в пирамиде так, что его вершина - в точке А, а окружность основания вписана в треугольник SBC. Найдите площадь боковой поверхности конуса и объём пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь боковой поверхности конуса равна (S = \pi \times r \times l),
где (r) - радиус вписанной окружности, (l) - образующая конуса.

Так как окружность описана в треугольнике SBC, то треугольник SBC является равнобедренным, потому что SB = SC.

Используем формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике:
[r = \frac{BC+SB-SC}{2} = \frac{14+21-21}{2} = 7]

Для нахождения образующей (l) воспользуемся пифагоровой теоремой в прямоугольном треугольнике SBC:
[SC^2 = SB^2 = BC^2 \Rightarrow l = \sqrt{SB^2 + BC^2} = \sqrt{21^2 + 14^2} = 7\sqrt{10}]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности конуса:
[S = \pi \times r \times l = \pi \times 7 \times 7\sqrt{10} = 49\pi\sqrt{10}]

Объем пирамиды можно найти по формуле:
[V = \frac{1}{3} \times S{ABC} \times h],
где (S{ABC}) - площадь основания пирамиды, (h) - высота пирамиды.

Площадь основания пирамиды (S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times \sqrt{SB^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \times 14 \times \sqrt{21^2 - 7^2} = 98).

Высоту (h) пирамиды находим из подобия треугольников SAB и ABC:
[\frac{h}{18} = \frac{\sqrt{BC^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2}}{SB} \Rightarrow h = \frac{18 \times \sqrt{14^2 - 7^2}}{21} = 6\sqrt{3}].

Теперь можем найти объем пирамиды:
[V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h = \frac{1}{3} \times 98 \times 6\sqrt{3} = 196\sqrt{3}]

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна (49\pi\sqrt{10}), объем пирамиды равен (196\sqrt{3}).