Сколько существует таких натуральных чисел, количество делителей которых равно некоторому простому числу, а само это число в 5 раз больше, чем количество его делителей?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть количество делителей числа равно простому числу p, а само это число равно 5p.

Число делителей числа n можно найти по формуле: если n = p_1^a_1 \cdot p_2^a_2 \cdot ... \cdot p_k^a_k, то количество делителей равно (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot ... \cdot (a_k + 1).

Если количество делителей числа равно p, то у нас есть два варианта: либо n = p^{p-1}, либо n = p_1^{p_1-1} \cdot p_2^{p_2-1}, где p_1 и p_2 - простые числа.

1) Если n = p^{p-1}, то 5p = p^p, откуда p = 5. Но количество делителей числа 5^4 равно 25, что не равно 5, поэтому этот вариант не подходит.

2) Если n = p_1^{p_1-1} \cdot p_2^{p_2-1}, где p_1 и p_2 - простые числа, то (p_1 - 1)(p_2 - 1) = p. Поскольку p - простое число, то это может быть только 6 или 8. Рассмотрим оба варианта:

a) Пусть (p_1 - 1)(p_2 - 1) = 6. Тогда возможны следующие варианты: (2 - 1)(7 - 1) = 6, откуда p_1 = 3, p_2 = 8, n = 3^2 \cdot 8^7 или (3 - 1)(2 - 1) = 2, откуда p_1 = 7, p_2 = 3, n = 7^2 \cdot 3^3. Однако в обоих случаях количество делителей не равно 8, поэтому этот вариант не подходит.

б) Пусть (p_1 - 1)(p_2 - 1) = 8. Тогда возможны следующие варианты: (2 - 1)(9 - 1) = 8, откуда p_1 = 3, p_2 = 10, n = 3^2 \cdot 10^9 или (3 - 1)(3 - 1) = 4, откуда p_1 = 5, p_2 = 4, n = 5^4 \cdot 4^2. В обоих случаях количество делителей равно 9, следовательно, такие числа существуют.

Итак, существует 2 натуральных числа, количество делителей которых равно 9, а само это число в 5 раз больше, чем количество его делителей.