Разбиение множества натуральных чисел Существует ли такое разбиение множества натуральных чисел на 2011 подмножеств, что ни в одном из них нет бесконечной арифметической прогрессии, а в объединении любых двух подмножеств такая прогрессия есть?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, такое разбиение существует.

Рассмотрим следующее разбиение множества натуральных чисел: в к-й элемент каждого из 2011 подмножеств будем включать числа вида 2^k * (3^i), где i - натуральное число. Таким образом, получаем 2011 подмножеств, в каждом из которых нет арифметической прогрессии, так как все элементы в таких подмножествах имеют различные показатели степеней двойки и тройки.

При объединении любых двух подмножеств, найдется элемент в каждом из них, который будет равен 2^k (3^i) и 2^m (3^j), где k и m - натуральные числа, а i и j - натуральные числа или 0. Пусть m > k. Тогда разность между этими двумя элементами будет равна 2^k (3^j) (2^(m-k) - 1), что образует арифметическую прогрессию. Таким образом, условие задачи выполнено.

Такое разбиение подмножеств натуральных чисел на 2011 штук существует.