Олимпиадное задание по математике Пусть Q(x) – многочлен нечетной степени. Пусть m и n количество действительных корней у Q(x) и Q(Q(x)), соответственно. Докажите, что n ≥ m.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть m = 2k + 1, где k – натуральное число. Это значит, что у многочлена Q(x) есть 2k + 1 действительных корней.

Представим многочлен Q(x) в виде Q(x) = (x - x1)(x - x2)...(x - xm)(x - p1)(x - p2)...(x - pk+1), где x1, x2, ..., xm - действительные корни, а p1, p2, ..., pk+1 - комплексные корни.

Тогда многочлен Q(Q(x)) можно представить как Q(Q(x)) = (Q(x) - x1)(Q(x) - x2)...(Q(x) - xm)(Q(x) - p1)(Q(x) - p2)...(Q(x) - pk+1).

Каждый из факторов вида (Q(x) - xi), где xi - действительный корень многочлена Q(x), является многочленом нечетной степени, так как разность многочлена нечетной степени и его корня дает многочлен нечетной степени.

Таким образом, у каждого фактора вида (Q(x) - xi) есть хотя бы один действительный корень.

Следовательно, количество действительных корней у многочлена Q(Q(x)) равно 2k + 1 = m = n.

Таким образом, доказано, что n ≥ m.