Последовательность задана формулой An=n(2n+1) докажите что сумма первых n членов этой последовательности может быть вычислена по формуле Sn=(n(n+1)(4n+5))/6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это по индукции.

База индукции: для n = 1 утверждение верно, так как A1 = 1(21 + 1) = 3 и S1 = (1(1+1)(41 + 5))/6 = 3.

Предположение индукции: предположим, что сумма первых n членов последовательности может быть вычислена по формуле Sn = (n(n+1)(4n+5))/6 для некоторого натурального n.

Шаг индукции: докажем, что утверждение верно для n+1.

Сумма первых n+1 членов последовательности Sn+1 = ∑(k=1 до n+1) Ak.
Выразим Sn+1 через Sn:
Sn+1 = Sn + An+1 = (n(n+1)(4n+5))/6 + (n+1)(2(n+1)+1).

Разложим это в удобное для нас выражение:
Sn+1 = (n(n+1)(4n+5))/6 + (n+1)(2n+2+1) = (n(n+1)(4n+5))/6 + (n+1)(2n+3) = (n(n+1)(4n+5))/6 + (n+1)(2n+3).
Теперь раскроем скобки в правой части:
Sn+1 = (n(n+1)(4n+5))/6 + (2n^2 + 3n + 2n + 3) = (n(n+1)(4n+5))/6 + 2n^2 + 5n + 3.

Преобразуем это выражение:
Sn+1 = (n(n+1)(4n+5) + 6(2n^2 + 5n + 3))/6 = (n^2 + n)(4n + 5) + 6(2n^2 + 5n + 3))/6 = ((n+1)(n+2)(4n+9))/6.

Таким образом, мы показали, что сумма первых n+1 членов последовательности может быть вычислена по формуле Sn = ((n+1)(n+2)(4n+9))/6.

Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n.