Для начала преобразуем уравнение, с помощью тригонометрических тождеств:
cos^2(3x) - sin^2(3x) - cos(4x) = (cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos(4x) = (cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos^2(2x) + sin^2(2x) = (cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - (cos^2(2x) - sin^2(2x)) = (cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos(2x) = 0
Теперь сделаем замену: u = 3x, тогда уравнение примет вид:
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(u + u/3) = (cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(4u/3) = 0
Далее мы можем воспользоваться формулой косинуса суммы для cos(4u/3):
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(u)cos(u/3) + sin(u)sin(u/3) = (cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - (cos(u)cos(u) - sin(u)sin(u)) = (cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - (cos^2(u) - sin^2(u)) = (cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos^2(u) + sin^2(u) = (cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - 1 + sin^2(u) = cos(u)^2 - sin(u)^2 - 1 + sin^2(u) = cos(u)^2 - 1 = (cos(u) + 1)(cos(u) - 1) = 0
Отсюда получаем два уравнения:
cos(u) + 1 = cos(u) = -u = (2n + 1) * pi, где n - целое число
cos(u) - 1 = cos(u) = u = 2n * pi, где n - целое число
Используя замену u = 3x, получаем решения для исходного уравнения:
3x = (2n + 1) px = (2n + 1) pi / 3, где n - целое число
3x = 2n px = 2n pi / 3, где n - целое число
Таким образом, решения уравнения cos^2(3x) - sin^2(3x) - cos(4x) = 0x = (2n + 1) pi / 3 и x = 2n pi / 3, где n - целое число.
Для начала преобразуем уравнение, с помощью тригонометрических тождеств:
cos^2(3x) - sin^2(3x) - cos(4x) =
(cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos(4x) =
(cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos^2(2x) + sin^2(2x) =
(cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - (cos^2(2x) - sin^2(2x)) =
(cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos(2x) = 0
Теперь сделаем замену: u = 3x, тогда уравнение примет вид:
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(u + u/3) =
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(4u/3) = 0
Далее мы можем воспользоваться формулой косинуса суммы для cos(4u/3):
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(u)cos(u/3) + sin(u)sin(u/3) =
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - (cos(u)cos(u) - sin(u)sin(u)) =
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - (cos^2(u) - sin^2(u)) =
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos^2(u) + sin^2(u) =
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - 1 + sin^2(u) =
cos(u)^2 - sin(u)^2 - 1 + sin^2(u) =
cos(u)^2 - 1 =
(cos(u) + 1)(cos(u) - 1) = 0
Отсюда получаем два уравнения:
cos(u) + 1 =
cos(u) = -
u = (2n + 1) * pi, где n - целое число
cos(u) - 1 =
cos(u) =
u = 2n * pi, где n - целое число
Используя замену u = 3x, получаем решения для исходного уравнения:
3x = (2n + 1) p
x = (2n + 1) pi / 3, где n - целое число
3x = 2n p
x = 2n pi / 3, где n - целое число
Таким образом, решения уравнения cos^2(3x) - sin^2(3x) - cos(4x) = 0
x = (2n + 1) pi / 3 и x = 2n pi / 3, где n - целое число.