Решить уравнениеcos^2(3x) - sin^2(3x) - cos(4x) =0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем уравнение, с помощью тригонометрических тождеств:

cos^2(3x) - sin^2(3x) - cos(4x) = 0
(cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos(4x) = 0
(cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos^2(2x) + sin^2(2x) = 0
(cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - (cos^2(2x) - sin^2(2x)) = 0
(cos(3x) + sin(3x))(cos(3x) - sin(3x)) - cos(2x) = 0

Теперь сделаем замену: u = 3x, тогда уравнение примет вид:

(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(u + u/3) = 0
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(4u/3) = 0

Далее мы можем воспользоваться формулой косинуса суммы для cos(4u/3):

(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos(u)cos(u/3) + sin(u)sin(u/3) = 0
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - (cos(u)cos(u) - sin(u)sin(u)) = 0
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - (cos^2(u) - sin^2(u)) = 0
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - cos^2(u) + sin^2(u) = 0
(cos(u) + sin(u))(cos(u) - sin(u)) - 1 + sin^2(u) = 0
cos(u)^2 - sin(u)^2 - 1 + sin^2(u) = 0
cos(u)^2 - 1 = 0
(cos(u) + 1)(cos(u) - 1) = 0

Отсюда получаем два уравнения:

cos(u) + 1 = 0
cos(u) = -1
u = (2n + 1) * pi, где n - целое число

cos(u) - 1 = 0
cos(u) = 1
u = 2n * pi, где n - целое число

Используя замену u = 3x, получаем решения для исходного уравнения:

3x = (2n + 1) pi
x = (2n + 1) pi / 3, где n - целое число

3x = 2n pi
x = 2n pi / 3, где n - целое число

Таким образом, решения уравнения cos^2(3x) - sin^2(3x) - cos(4x) = 0:
x = (2n + 1) pi / 3 и x = 2n pi / 3, где n - целое число.