В геометрической прогрессии с положительными членами b1+b2=30, b3+b4=180 и bn=405. Чему равно n?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте найдем первый и второй член геометрической прогрессии.

Из условия имеем:
b1 + b2 = 30
b3 + b4 = 180
bn = 405

Пусть первый член прогрессии b1 = a, а знаменатель прогрессии q.
Тогда второй член b2 = aq, третий член b3 = aq^2 и четвертый член b4 = aq^3.

Из уравнения b1 + b2 = a + aq = 30 получаем, что a(1 + q) = 30. (1)
А из уравнения b3 + b4 = aq^2 + aq^3 = 180 следует, что aq^2(1 + q) = 180. (2)

Из уравнения (1) находим a = 30 / (1 + q).
Подставляем это выражение в уравнение (2):
(30 / (1 + q)) q^2 (1 + q) = 180
30q^2 / (1 + q) = 180
30q^2 = 180(1 + q)
30q^2 = 180 + 180q
3q^2 = 18 + 18q
q^2 - 6q - 6 = 0
(q - 3)(q + 2) = 0

Таким образом, q = 3 или q = -2.
Так как члены прогрессии положительные, то q = 3.

Подставляем найденное значение q = 3 в уравнение (1):
a(1 + 3) = 30
4a = 30
a = 30 / 4
a = 7.5

Теперь находим значение n:
bn = aq^(n-1)
405 = 7.5 3^(n-1)
405 = 7.5 3^n / 3
405 = 2.5 * 3^n
162 = 3^n
3^4 = 81
3^5 = 243

Таким образом, n = 5.