Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:y=2sinx+sin2x на отрезке от 0 до 3П/2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции y=2sinx+sin2x на отрезке от 0 до 3П/2 нужно найти экстремумы функции на этом отрезке.

Для этого ищем производную функции y'(x) = 2cosx + 2cos2x.

Находим точки, где производная равна нулю:

2cosx + 2cos2x = 0

cosx + cos2x = 0

cos2x = -cosx

2cos^2(x) - 1 = -cosx

2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0

Получаем уравнение вида:

2t^2 + t - 1 = 0

Где t = cos(x).

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

D = 1^2 - 42(-1) = 1 + 8 = 9

t1 = (-1 + √D) / (2*2) = (-1 + 3) / 4 = 1/2

t2 = (-1 - √D) / (2*2) = (-1 - 3) / 4 = -1

cos(x) = 1/2 и cos(x) = -1

x1 = П/3, x2 = 5П/3, x3 = П

Далее находим значение функции в найденных экстремумах и на границах отрезка:

y(0) = 0,
y(П/3) = 3,
y(П) = 2,
y(3П/2) = 0.

Наименьшее значение функции на отрезке от 0 до 3П/2 равно 0, а наибольшее значение равно 3.