Эрмитовы матрицы, неравенство Пусть A,B,C∈M_n(C) - эрмитовы и положительно определенные матрицы такие, что A+B+C=I_n, где I_n - единичная матрица. Докажите, что det(6(A^3+B^3+C^3)+I_n)≥5^ndet(A^2+B^2+C^2).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что сумма трех положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной, так как для любого вектора x:
x^T(A+B+C)x = x^TAx + x^TBx + x^TCx > 0, так как все слагаемые положительны в силу положительной определенности матриц A,B и C.

Теперь рассмотрим матрицу D = A^3 + B^3 + C^3. Поскольку A, B и C - положительно определенные матрицы, то D также положительно определена. Мы также можем записать
det(D) = det(A^3 + B^3 + C^3) = det(A^3) + det(B^3) + det(C^3).

Используя неравенство между следами и определителями для положительно определенных матриц, получим:
det(D) = det(A^3) + det(B^3) + det(C^3) ≥ det(A^2) + det(B^2) + det(C^2).

Теперь умножим это неравенство на 6 и добавим единичную матрицу:
6(det(A^2) + det(B^2) + det(C^2)) + I_n ≥ 6det(D) + I_n.

Используя тот факт, что det(D) = det(A^3 + B^3 + C^3) = det((A+B+C)(A^2 - AB + B^2 - BC + C^2)) = det(I_n(A^2 - AB + B^2 - BC + C^2)) = det(A^2 - AB + B^2 - BC + C^2), мы получаем:
6(det(A^2) + det(B^2) + det(C^2)) + I_n ≥ 6det(A^2 - AB + B^2 - BC + C^2) + I_n.

Теперь, учитывая, что (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 ≥ 0 для любых эрмитовых матриц A, B, C, получаем:
(A^2 - AB + B^2 - BC + C^2) = (A^2 + B^2 + C^2) - (AB + BC) ≥ 0.

Следовательно, по теореме об определителе суммы матриц, получаем:
6det(A^2 - AB + B^2 - BC + C^2) ≥ 5^n det(A^2 + B^2 + C^2).

Таким образом, мы получаем исходное неравенство:
6(det(A^2) + det(B^2) + det(C^2)) + I_n ≥ 5^n det(A^2 + B^2 + C^2).

Из этого вытекает, что
det(6(A^3+B^3+C^3)+I_n) ≥ 5^ndet(A^2+B^2+C^2),
что и требовалось доказать.