Решите задачу по математике для олимпиады Про квадратный трехчлен p(x) ∈ Z[x] известно, что p(p(1)) = 1 уравнение p(x) = x имеет целый корень. Докажите, что p(1) = 1.
Пусть квадратный трехчлен p(x) имеет вид p(x) = ax^2 + bx + c, где a, b, c - целые числа Из условия p(p(1)) = 1 получаем, что p(p(1)) = a(p(1))^2 + b(p(1)) + c = 1 Так как p(1) - целое число, то и (p(1))^2 - целое число Значит, обязательно числа a, b, c таковы, что a(p(1))^2 + b(p(1)) + c = 1 Уравнение p(x) = x имеет один целый корень, значит p(x) - x = (x - r)(x - s), где r, s - целые числа Тогда p(1) - 1 = (1 - r)(1 - s) Так как p(1) - целое число, то (1 - r)(1 - s) также целое число Отсюда следует, что p(1) = 1.
Пусть квадратный трехчлен p(x) имеет вид p(x) = ax^2 + bx + c, где a, b, c - целые числа
Из условия p(p(1)) = 1 получаем, что p(p(1)) = a(p(1))^2 + b(p(1)) + c = 1
Так как p(1) - целое число, то и (p(1))^2 - целое число
Значит, обязательно числа a, b, c таковы, что a(p(1))^2 + b(p(1)) + c = 1
Уравнение p(x) = x имеет один целый корень, значит p(x) - x = (x - r)(x - s), где r, s - целые числа
Тогда p(1) - 1 = (1 - r)(1 - s)
Так как p(1) - целое число, то (1 - r)(1 - s) также целое число
Отсюда следует, что p(1) = 1.