Решите задачу по математике для олимпиады Про квадратный трехчлен p(x) ∈ Z[x] известно, что p(p(1)) = 1 и
уравнение p(x) = x имеет целый корень. Докажите, что p(1) = 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть квадратный трехчлен p(x) имеет вид p(x) = ax^2 + bx + c, где a, b, c - целые числа.
Из условия p(p(1)) = 1 получаем, что p(p(1)) = a(p(1))^2 + b(p(1)) + c = 1.
Так как p(1) - целое число, то и (p(1))^2 - целое число.
Значит, обязательно числа a, b, c таковы, что a(p(1))^2 + b(p(1)) + c = 1.
Уравнение p(x) = x имеет один целый корень, значит p(x) - x = (x - r)(x - s), где r, s - целые числа.
Тогда p(1) - 1 = (1 - r)(1 - s).
Так как p(1) - целое число, то (1 - r)(1 - s) также целое число.
Отсюда следует, что p(1) = 1.