1) Найдем первообразную функции f(x) = x + ctg^2 x.
Интегрируя по частям, получаем:
∫(x + ctg^2 x) dx = x^2/2 - ∫ctg^2 x dx = x^2/2 - ∫(csc^2 x - 1) dx= x^2/2 - ∫csc^2 x dx + ∫dx= x^2/2 + cot x + x + C,
где C - произвольная постоянная.
Таким образом, первообразная функции f(x) = x + ctg^2 x равна (x^2/2 + cot x + x) + C.
2) Найдем первообразную функции f(x) = (cos 2x) / (sin x - cos x).
Применим формулу преобразования тригонометрических функций:
cos 2x = 2 cos^2 x - 1
И заменим в исходном выражении cos 2x:
f(x) = (2 cos^2 x - 1) / (sin x - cos x)
f(x) = 2 ∫cos^2 x/(sin x - cos x) dx - ∫dx
f(x) = 2 ∫(1 - sin^2 x)/(sin x - cos x) dx - x +C
f(x) = 2 ∫(sin x - sin^3 x - cos x + cos x sin^2 x) dx - x +C
f(x) = 2 ∫sin x dx - 2 ∫sin^3 x dx - 2 ∫cos x dx + 2 ∫cos x sin^2 x dx - x +C
f(x) = - 2 cos x + 1/2 cos^3 x - 2 sin x + 1/2 sin^3 x - x +C
Таким образом, первообразная функции f(x) = (cos 2x) / (sin x - cos x) равна (- 2 cos x + 1/2 cos^3 x - 2 sin x + 1/2 sin^3 x - x) + C.
1) Найдем первообразную функции f(x) = x + ctg^2 x.
Интегрируя по частям, получаем:
∫(x + ctg^2 x) dx = x^2/2 - ∫ctg^2 x dx = x^2/2 - ∫(csc^2 x - 1) dx
= x^2/2 - ∫csc^2 x dx + ∫dx
= x^2/2 + cot x + x + C,
где C - произвольная постоянная.
Таким образом, первообразная функции f(x) = x + ctg^2 x равна (x^2/2 + cot x + x) + C.
2) Найдем первообразную функции f(x) = (cos 2x) / (sin x - cos x).
Применим формулу преобразования тригонометрических функций:
cos 2x = 2 cos^2 x - 1
И заменим в исходном выражении cos 2x:
f(x) = (2 cos^2 x - 1) / (sin x - cos x)
f(x) = 2 ∫cos^2 x/(sin x - cos x) dx - ∫dx
f(x) = 2 ∫(1 - sin^2 x)/(sin x - cos x) dx - x +C
f(x) = 2 ∫(sin x - sin^3 x - cos x + cos x sin^2 x) dx - x +C
f(x) = 2 ∫sin x dx - 2 ∫sin^3 x dx - 2 ∫cos x dx + 2 ∫cos x sin^2 x dx - x +C
f(x) = - 2 cos x + 1/2 cos^3 x - 2 sin x + 1/2 sin^3 x - x +C
Таким образом, первообразная функции f(x) = (cos 2x) / (sin x - cos x) равна (- 2 cos x + 1/2 cos^3 x - 2 sin x + 1/2 sin^3 x - x) + C.