Пусть AC – наибольшая сторона треугольника АВС. На отрезке АС выбраны точки К и М так, что АМ=АВ и СК=СВ. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника КВМ, равен 11, радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 7, и эта окружность касается стороны ВС в точке Т. Найдите квадрат длины отрезка ВТ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы понимаем, что треугольник ВТС – это прямоугольный треугольник с прямым углом в точке В. Пусть ВТ = х, ТС = у.

Также, с учетом радиусов окружностей, имеем:

AV = AM = 7+11 = 18,

BV = CK = CS = x,

CT = CV = СК = 11,

Так как треугольник ВТС прямоугольный, то по теореме Пифагора:

(ВС)^2 = (ВТ)^2 + (ТС)^2,

18^2 = x^2 + у^2,

324 = x^2 + у^2.

Также, так как Т лежит на вписанной окружности АВС:

2p = AB + BC + AC = 18 + x + 18 = 36 + x

2p = AB + BC + AC = 7 + x + 18 = 25 + x

2p = AB + BC + AC = 11 + 18 + 18 = 47

p = 47/2 = 23.5

R = 7

r = 11

S = p * r

S = 23.5 * 7 = 164.5

S = r * (AB+BC+AC)/2

164.5 = 11 * (47+x)/2

329 = 47 + x

x = 282

324 = 282 + y^2

42 = y

x^2 = 282^2 = 79524

Ответ: x^2 = 79524.