Найдите вторую производную функции y(x)=tg^2 x - ctg^2 x и вычислите y``(пи/4)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем первую производную функции y(x):

y'(x) = 2tg(x) sec^2(x) - 2ctg(x) csc^2(x)

Теперь найдем вторую производную функции y(x):

y''(x) = 2(sec^2(x) sec^2(x) + 2tg(x) sec(x) sec(x) tan(x)) - 2(-csc^2(x) csc^2(x) + 2ctg(x) csc(x) csc(x) cot(x))

Упростим эту производную:

y''(x) = 2(sec^4(x) + 2tg(x)sec^2(x) tan(x)) + 2(csc^4(x) + 2ctg(x) csc^2(x) cot(x))

Теперь подставим x = π/4:

y''(π/4) = 2(sec^4(π/4) + 2tg(π/4)sec^2(π/4) tan(π/4)) + 2(csc^4(π/4) + 2ctg(π/4) csc^2(π/4) cot(π/4))

sec(π/4) = √2, tg(π/4) = 1, tan(π/4) = 1
csc(π/4) = √2, ctg(π/4) = 1, cot(π/4) = 1

y''(π/4) = 2(2√2 + 2√2) + 2(2√2 + 2√2) = 8√2 + 8√2 = 16√2

Таким образом, вторая производная функции y(x) равна 16√2 при x = π/4.