Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О(АD и BC -основания) Известно что площадь треугольника BOC равна 1728, а площадь треугольника AOD равна 2352 Найдите площадь треугольника АОВ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади треугольника AOV воспользуемся свойством подобных треугольников.

Площади треугольников BOC, AOD и AOB равны соответственно S1, S2 и S3.

Так как треугольники BOC и AOB подобны (по двум углам), то отношение площадей треугольников BOC, AOB и BC, AD (основания трапеции) равно квадрату отношения сторон треугольников BOC и AOB:

S3 / S1 = (BC / AD)^2 (1)

Аналогично, так как треугольники AOD и AOB подобны (по двум углам), то отношение площадей треугольников AOD, AOB и AD, BC равно квадрату отношения сторон треугольников AOD и AOB:

S3 / S2 = (AD / BC)^2 (2)

Из формул (1) и (2) имеем:

S2 / S1 = AD^2 / BC^2

S2 = S1 * (AD / BC)^2

S2 = 1728

Таким образом,

S3 = S2 * (BC / AD)^2

S3 = 1728 * (BC / AD)^2

S3 = 2352

Из последнего равенства можем найти соотношение сторон треугольника AOD:

2352 = 1728 * (BC / AD)^2

BC / AD = sqrt(2352 / 1728)

BC / AD = sqrt(4/3) = 2 / sqrt(3) = (2 sqrt(3)) / 3

Так как ABCD - трапеция, то AD = BC

Следовательно, AD = BC = 3x, и AB = CD = 2x

Значит, AO = 3x, и CO = 2x

Площадь треугольника AOB равна:

S3 = (1/2) AB AO * sin(BOA)

1728 = (1/2) 2x 3x * sin(BOA)

1728 = 3x^2 * sin(BOA)

sin(BOA) = 1728 / (3x^2) = 192 / x^2

Теперь можем найти площадь треугольника AOB:

S3 = (1/2) 2x 3x * sin(BOA)

S3 = 3x^2 * 192 / x^2

S3 = 576

Ответ: Площадь треугольника AOB равна 576.