В трапеции ABCD (AD ∥ BC, AD > BC) на диагонали AC выбрана точка E так, что BE ∥ CD. Площадь треугольника ABC равна 10. Найдите площадьтреугольника DEC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон трапеции как AD = a, BC = b, CD = c и AB = d.

Так как AD ∥ BC, то треугольники ABC и AED подобны. Поэтому можно записать пропорцию:

BE/CD = AB/AD

BE/c = d/a

BE = dc/a

Теперь можем записать площади треугольников ABC и AED:

S_ABC = (AB + CD)h/2 = (d + c)h/2

S_AED = (AD + BE)h/2 = (a + dc/a)h/2

Так как треугольники ABC и AED подобны, их площади относятся как квадраты соответствующих сторон:

S_AED/S_ABC = (a + dc/a)^2/(d + c)^2

Из условия задачи известно, что площадь треугольника ABC равна 10:

S_ABC = (d + c)*h/2 = 10

Отсюда можно найти высоту h:

h = 20/(d + c)

Подставим это выражение в пропорцию для площадей треугольников:

(a + dc/a)^2/(d + c)^2 = (a + dc/a)^2 * (d + c)/(d + c)^3 = S_AED/S_ABC

Так как S_ABC = 10, подставим это в выражение:

(a + dc/a)^2/(d + c) = S_AED/10

(a + dc/a)^2 = (S_AED/10)*(d + c)

Помножим обе части на 10*(d + c):

10(a + dc/a)^2 = S_AED(d + c)

10(a^2 + d^2c^2/a^2 + 2dc)(d + c) = S_AED*(d + c)

Раскроем скобки:

10(a^2d + a^2c + d^2c^2 + 2dc^2) = S_AED(d + c)

10(a^2d + a^2c + d^2c^2 + 2dc^2) = 10(d + c)*h

a^2d + a^2c + d^2c^2 + 2dc^2 = (d + c)*h

Поскольку нам нужна площадь треугольника DEC, воспользуемся формулой для площади треугольника с помощью половины векторного произведения векторов CD и CE:

S_DEC = 1/2 |CD||CE| sin(∠DCE)

Так как BE || CD, то треугольники CDE и BEC подобны. То есть отношение сторон CE и BE равно отношению сторон CD и BC:

CE/BE = CD/BC

CE = (CDBE)/BC = (cdc/a)/b = dc^2/(ab)

Теперь можем записать площадь треугольника DEC:

S_DEC = 1/2 CDCE sin(∠DCE) = 1/2 c dc^2/(ab) sin(DCE) = dc^3/(2ab) sin(DCE)

Можно получить синус угла DCE, воспользовавшись формулой косинусов в треугольнике DCE:

CE^2 = DE^2 + CD^2 - 2DECD*cos(DCE)

d^2c^4/(a^2b^2) = (d^2 + c^2 - 2dc*cos(DCE))

Отсюда можем найти косинус угла DCE:

2dccos(DCE) = d^2 + c^2 - d^2c^4/(a^2*b^2)

cos(DCE) = (d^2 + c^2)/(2dc) - c^3/(a^2*b^2)

sin(DCE) = sqrt(1 - cos^2(DCE)) = sqrt(1 - (d^2 + c^2)^2/(4d^2c^2) + c^6/(a^4*b^4))

Подставим найденное значение sin(DCE) в выражение для S_DEC:

S_DEC = dc^3/(2ab) sqrt(1 - (d^2 + c^2)^2/(4d^2c^2) + c^6/(a^4*b^4))

Это и будет ответом.