Исследуйте функцию: y=3-x^2/x+2 на монотонность и экстремумы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования монотонности данной функции, нужно найти её производную.

y = 3 - x^2 / (x + 2)

y' = -2x(x + 2) + (3)(1) / (x + 2)^2
y' = -2x^2 - 4x + 3 / (x + 2)^2

Когда производная равна нулю, найдем точки экстремума функции:

-2x^2 - 4x + 3 = 0

Решив квадратное уравнение, получаем два корня:

x1 = (-(-4) + sqrt( (-4)^2 - 4(-2)(3) )) / 2*(-2) = (4 + sqrt(16 + 24)) / -4 = (4 + sqrt(40)) / -4
x2 = (4 - sqrt(40)) / -4

Теперь нужно определить знак производной в каждом из интервалов (−∞, x2), (x2, x1), (x1, +∞) для исследования монотонности функции.

Подставим значение -∞ в производную, чтобы определить знак в интервале (−∞, x2):
y'(-∞) = -2(-∞)^2 - 4(-∞) + 3 / (+∞ + 2)^2 = +∞
Значит, производная положительна на интервале (−∞, x2).

Подставим значение x2 в производную, чтобы определить знак в интервале (x2, x1):
y'(x2) = -2x2^2 - 4x2 + 3 / (x2 + 2)^2
По полученным значениям x2 можно вычислить значение производной.

Подставим значение x1 в производную, чтобы определить знак в интервале (x1, +∞):
y'(x1) = -2x1^2 - 4x1 + 3 / (x1 + 2)^2
По полученным значениям x1 можно вычислить значение производной.

Таким образом, изучив знаки производной на различных интервалах, можно определить монотонность функции и найти экстремумы.