Пусть x1 и x2 - два различных решения уравнения 2sin^2(x)+sinxcosx-3cos^2(x)=0, принадлежащие интервалу (0; pi). Найдтие 5tg(x1+x2);

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано уравнение: 2sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0

Для начала, решим уравнение с помощью тригонометрических тождеств:
Перепишем уравнение в виде:
2sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 2sin^2(x) + sin(2x)/2 - 3(1-sin^2(x)) = 0
Упростим:
2sin^2(x) + sin(2x)/2 - 3 + 3sin^2(x) = 0
5sin^2(x) + sin(2x)/2 - 3 = 0

Уравнение принимает вид: 5t^2 + t/2 - 3 = 0
где t = sin(x)

Решаем квадратное уравнение:
D = (1/4 + 60) = 241/4
t1 = (-1/2 + √241/2)/10
t2 = (-1/2 - √241/2)/10

Т.к. sin(x) принадлежит интервалу (0, pi), мы выбираем t1

Таким образом, sin(x1) = (-1 + √241)/10, sin(x2) = (-1 - √241)/10

Найдем cos(x1) и cos(x2) с использованием формулы sin^2(x) + cos^2(x) = 1:
cos^2(x1) = 1 - sin^2(x1) = 1 - ((-1 + √241)/10)^2, cos(x1) = √(1 - ((-1 + √241)/10)^2)
cos^2(x2) = 1 - sin^2(x2) = 1 - ((-1 - √241)/10)^2, cos(x2) = √(1 - ((-1 - √241)/10)^2)

Теперь найдем сумму x1 + x2:
sin(x1+x2) = sin(x1)cos(x2) + cos(x1)sin(x2) = ((-1 + √241)(-1 - √241) + √(1 - ((-1 + √241)/10)^2)√(1 - ((-1 - √241)/10)^2))/(10*10) = 2/5

Таким образом, 5tg(x1+x2) = 5tg(2/5) = 5 (2/3) = 10/3