Докажите, что при всех натуральных значениях n, выражение 25n2-(5n-4)2 делится на 8 без остатка.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что выражение 25n^2 - (5n - 4)^2 делится на 8 без остатка, используем метод математической индукции.

База индукции: при n = 1
Подставляем n = 1 в выражение: 251^2 - (51 - 4)^2 = 25 - 1 = 24, что делится на 8 без остатка.

Предположение индукции: предположим, что для некоторого k выражение 25k^2 - (5k - 4)^2 делится на 8 без остатка.

Шаг индукции: докажем, что при n = k + 1 также выполнено, что выражение делится на 8 без остатка.
Подставляем n = k + 1 в выражение: 25(k + 1)^2 - (5(k + 1) - 4)^2 = 25k^2 + 50k + 25 - (5k + 1)^2 = (25k^2 - (5k - 4)^2) + 50k + 25.

Из предположения индукции выражение 25k^2 - (5k - 4)^2 делится на 8 без остатка, значит, остаток 50k + 25 от деления на 8 также будет равен 0. Таким образом, выражение 25(k + 1)^2 - (5(k + 1) - 4)^2 делится на 8 без остатка.

Итак, доказано, что при всех натуральных значениях n, выражение 25n^2 - (5n - 4)^2 делится на 8 без остатка.