Найдите множество значений функции y = x^2 - 6x + 7 решаить неравенство : 5*25^1\x+3*10^1\x>= 2*4^1\x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала перепишем неравенство в стандартной форме
525^(1/x) + 310^(1/x) >= 2*4^(1/x)

Заметим, что 25 = 5^2 и 10 = 25, а также 4 = 2^2. Тогда можно переписать неравенство следующим образом
5(5^(2/x)) + 3((25)^(1/x)) >= 2*(2^(2/x))

Далее проведем замену переменной: t = 5^(1/x). Тогда теперь неравенство будет выглядеть так
5t^2 + 3(2t) >= 2(t^2)

5t^2 + 6t >= 2t^2

3t^2 + 6t >= 0

t(t + 2) >= 0

Учитывая, что t = 5^(1/x), решим неравенство t(t + 2) >= 0. Это неравенство выполняется, когда t >= 0 и t + 2 >= 0, т.е. когда t >= 0 и t >= -2. Это означает, что t >= 0.

Теперь, так как t = 5^(1/x) >= 0, то 5^(1/x) = t >= 0, следовательно, x^2 - 6x + 7 > 0.

Найдем корни уравнения x^2 - 6x + 7 = 0
D = (-6)^2 - 417 = 36 - 28 = 8

x1,2 = (6 +/- sqrt(8)) / 2 = (6 +/- 2*sqrt(2)) / 2 = 3 +/- sqrt(2)

Таким образом, множество значений функции y = x^2 - 6x + 7, при которых выполняется неравенство, определяется как интервал (-∞, 3 - sqrt(2)) объединенное с интервалом (3 + sqrt(2), +∞).