Докажите что при любом целом n значение трехчлена 2n^3-3n^2+n кратно 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что каждый из трех членов 2n^3, -3n^2, n является кратным 2 (так как m*2=2m), а значит, каждый из них делится на 2 без остатка.

Теперь заметим, что любое целое число n является либо кратным 3, либо имеет остаток при делении на 3 (n = 3k или n = 3k + 1 или n = 3k + 2, где k - целое число).

Рассмотрим теперь выражение 2n^3. Поскольку n - целое число, то n^3 также будет целым числом. Из выше сказанного следует, что 2n^3 является кратным 2*3=6.

Теперь рассмотрим выражение -3n^2. Поскольку n^2 - всегда положительное число, то -3n^2 будет отрицательным. Однако, поскольку вопрос остается только в кратности числа, это не имеет значения. Из утверждения выше следует, что -3n^2 является кратным 6.

Наконец, рассмотрим выражение n. Поскольку n - целое число, результат выражения n всегда будет целым. Из этого тоже следует, что n делится на 6 нацело.

Таким образом, каждый из трех членов 2n^3, -3n^2 и n является кратным 6, а значит, их сумма 2n^3 - 3n^2 + n также будет кратна 6 для любого целого числа n.