Геометрия Докажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы данный треугольник был Докажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы данный треугольник был прямоугольным, является равенство 2R + r = р, где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение.

1) Пусть треугольник ABC прямоугольный. Тогда на его сторону AB можно описать окружность с радиусом R и вписать окружность с радиусом r. По теореме Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2,

где a и b - катеты треугольника, c - гипотенуза. Полупериметр треугольника p равен:

p = (a + b + c) / 2.

Из теории треугольников известно, что радиус описанной окружности равен R = c / 2, а радиус вписанной окружности r можно выразить через площадь треугольника и полупериметр: r = S / p.

Тогда:

2R + r = c + S / p = (c / 2) + S / p = (a^2 + b^2) / (a + b + c) + S / p.

Для прямоугольного треугольника выполняется:

c = sqrt(a^2 + b^2) и S = (a * b) / 2,

подставляя это в выражение для 2R + r, получим:

2R + r = (a^2 + b^2) / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)) + (a b) / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)) = (a^2 + b^2 + a b) / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)) = (a + b)^2 / (a + b + sqrt(a^2 + b^2)) = (a + b) = p,

что и требовалось доказать.

Таким образом, равенство 2R + r = р является необходимым и достаточным условием того, чтобы треугольник ABC был прямоугольным.