Решить уравнение √3sinx-cosx=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение представляет собой тригонометрическое уравнение. Для его решения преобразуем его к виду, удобному для дальнейших действий:

√3sin(x) - cos(x) = 1
√3sin(x) = cos(x) + 1
sin(x) = (cos(x) + 1)/√3
sin(x) = cos(x)/√3 + 1/√3

Затем воспользуемся тригонометрическими тождествами sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и cos(90° - x) = sin(x):

sin^2(x) = cos^2(x)/3 + 2cos(x)/√3 + 1/3

Теперь выразим cos^2(x) через sin^2(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 - sin^2(x) = sin^2(x)/3 + 2sin(x)/√3 + 1/3
3 - 3sin^2(x) = sin^2(x) + 2sin(x) + 1
3 - 4sin^2(x) - 2sin(x) - 1 = 0
4sin^2(x) + 2sin(x) - 2 = 0

Теперь решим данное квадратное уравнение относительно sin(x):

sin(x) = [-2 ± sqrt(4 + 442)] / 8
sin(x) = [-2 ± sqrt(36)] / 8
sin(x) = [-2 ± 6] / 8

Таким образом, получаем два возможных значения sin(x):

sin(x) = 1 или sin(x) = -0.5

Рассмотрим каждое из значений sin(x) отдельно:

sin(x) = 1:
если sin(x) = 1, следовательно, x = 90° = π/2.

sin(x) = -0.5:
Для данного значения sin(x) не существует действительного угла, так как синус не может быть меньше -1 или больше 1.

Таким образом, уравнение √3sinx - cosx = 1 имеет единственным решением: x = π/2.