Задача по геометрии На боковой стороне AB трапеции ABCD выбрана точка P, а на стороне CD выбрана точка Q. Пусть R — точка пересечения отрезков BQ и CP. Оказалось, что точки P, R, Q, D, A лежат на одной окружности. Докажите, что AR=RD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы знаем, что точки P, R, Q, D, A лежат на одной окружности. Поэтому углы PQR и PAR будут равны, так как они опираются на одну и ту же дугу AD.

Таким образом, у нас есть два треугольника PAR и RQD, в которых угол PAR равен углу RQD (так как они опираются на одной и той же дуге AD) и угол PRA равен углу QRD (так как это вертикальные углы).

Из равенства углов следует, что эти треугольники подобны по углам (по первому признаку подобия треугольников). Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть AR/RD = AP/PQ.

Теперь посмотрим на треугольники ARD и APQ. Так как AR/RD = AP/PQ, а также углы PAR и RQD равны, следует, что эти треугольники подобны по стороне-углу-стороне (по второму признаку подобия треугольников). Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть AR/RD = AP/PQ = AQ/QD.

Из последнего равенства следует, что AR = RD. Что и требовалось доказать.