1/2 cos2x + cosx на x принадлежит [ 0;П/2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точек минимум и максимума функции f(x) = 1/2 cos(2x) + cos(x) на интервале [0, π/2] найдем производную данной функции:

f'(x) = -sin(2x) - sin(x)

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:
-sin(2x) - sin(x) = 0
-sin(x) * (2cos(x) + 1) = 0

Критические точки:
1) sin(x) = 0 => x = 0, π
2) 2cos(x) + 1 = 0 => cos(x) = -1/2 => x = 2π/3, 4π/3

Проверим значения функции в найденных точках:
f(0) = 1/2 cos(0) + cos(0) = 1/2 + 1 = 3/2
f(π/3) = 1/2 cos(2π/3) + cos(π/3) = 1/2 (-1/2) + 1/2 = 0
f(2π/3) = 1/2 cos(4π/3) + cos(2π/3) = 1/2 (-1/2) - 1/2 = -3/4
f(π) = 1/2 cos(2π) + cos(π) = 1/2 * 1 + (-1) = -1/2

Следовательно, минимальное значение функции на интервале [0, π/2] равно -3/4 и достигается при x = 2π/3, а максимальное значение равно 3/2 и достигается при x = 0.