Данное положительное число a разложите на три слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи используем метод нахождения минимума функции.

Сначала выразим одно из слагаемых через остальные два:
a = x + y + z

Теперь выразим его так, чтобы минимизировать сумму квадратов:
a = x + y + (a - x - y)

Теперь напишем функцию, которую будем минимизировать:
f(x, y) = x^2 + y^2 + (a - x - y)^2

Найдем производные по x и y и приравняем их к нулю для нахождения минимума:
df/dx = 2x - 2(a - x - y) = 0
df/dy = 2y - 2(a - x - y) = 0

Решив систему уравнений, найдем x и y:
2x - 2a + 2y = 0
2y - 2a + 2x = 0
Получаем: x = y = a/3

Значит, искомые слагаемые:
x = y = z = a/3

Таким образом, чтобы сумма квадратов была минимальной, число a нужно разложить на три одинаковых слагаемых.