Найдите наименьшее значение функции y=loq4(3/x^2+4x+12) на отрезке [-6;0]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего значения функции y=loq4(3/x^2+4x+12) необходимо найти наименьшее значение выражения (3/x^2+4x+12) на указанном отрезке [-6;0] и подставить его в функцию log4(x).

Найдем производную выражения 3/x^2 + 4x + 12:
f'(x) = d/dx(3/x^2 + 4x + 12) = -6/x^3 + 4

Найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:
-6/x^3 + 4 = 0
-6 = 4x^3
x^3 = -3/2
x = -∛(3/2) ≈ -1.144

Проверим значение второй производной в найденной точке, чтобы удостовериться, что это точка минимума:
f''(x) = d^2/dx^2(3/x^2 + 4x + 12) = 18/x^4

f''(-∛(3/2)) = 18/(-3/2)^4 = 18/(81/16) = 288/81 = 3.56 > 0

Таким образом, x ≈ -1.144 - точка минимума на отрезке [-6;0]. Теперь найдем значение функции в этой точке:

y = log4(3/(-1.144)^2 + 4*(-1.144) + 12)
y = log4(3/1.310 + (-4.576) + 12)
y = log4(2.29 - 4.576 + 12)
y = log4(9.714)
y ≈ -0.997

Итак, наименьшее значение функции y=loq4(3/x^2+4x+12) на отрезке [-6;0] равно примерно -0.997.