Найти значение числа a при котором уравнения x^3 + ax + 1 = 0 и x^4 + ax^2+1=0 имеют общий корень

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти значение числа a, при котором уравнения имеют общий корень, нам нужно найти этот общий корень.

Пусть данный корень равен x = k. Тогда подставим k в оба уравнения:

1) k^3 + ak + 1 =
2) k^4 + ak^2 + 1 = 0

Теперь выразим из первого уравнения a через k:

a = -(k^3 + 1) / k

Подставим это значение a во второе уравнение и выразим его через k:

k^4 - (k^3 + 1) / k * k^2 + 1 =
k^4 - k^5 - 1 + 1 =
k^4 - k^5 =
k^4(1 - k) = 0

Откуда получаем два возможных значения k: k=0 или k=1.

Теперь подставим каждое из значений k обратно в уравнение для a:

Если k=0, то a = -(0^3 + 1) / 0 = -1 / 0 - a неопределенное значение, то есть уравнения не имеют общего корня в этом случае.

Если k=1, то a = -(1^3 + 1) / 1 = -2

Таким образом, значение числа a, при котором уравнения x^3 + ax + 1 = 0 и x^4 + ax^2 + 1 = 0 имеют общий корень, равно a = -2.